Погрешности

Граница абсолютной погрешности

Величина $\Delta x$, определяющая интервал $\left(x_{изм}-\Delta x;x_{изм}+\Delta x\right)$, достоверно (с вероятностью, близкой к 1) содержащий истинное значение измеряемой величины, где $x_{изм}$ - результат измерения.

После того как вычислена абсолютная погрешность, ее значение обычно округляется до одной значащей цифры.

Если необходимо убедиться в достоверности измерения величины, действительное значение которой известно, нужно убедиться в принадлежности известного значения интервалу $\left|x_{изм}\pm \Delta x\right|$

Если необходимо проверить закон $A=B$, то нужно убедиться, что интервалы $\left|A\pm\Delta A\right|$ и $\left|B\pm\Delta B\right|$ пересекаются

Погрешности прямых измерений

Прямое измерение

Измерение, результат которого находится непосредственно в процессе считывания со шкалы или показаний цифрового прибора

За результат измерения принимается значение, соответствующее ближайшему к указателю штриху шкалы.

Определение погрешности прямого измерения

$$\Delta=\Delta_{пр}+\Delta_{отсч}$$ $\Delta_{пр}$ - погрешность средства измерения (прибора, инструмента);
$\Delta_{отсч}$ - погрешность отсчета

Обе составляющие погрешности прямого измерения следует учитывать лишь в том случае, если они близки друг к другу. Любым из этих слагаемых можно пренебречь, если оно не превосходит $\frac{1}{4}\ldots\frac{1}{3}$ от другого.

Погрешность электроизмерительного прибора

$$\Delta_{пр}=\frac{\gamma M}{100}$$ $\gamma$ - класс точности;
$M$ - предел измерения

Погрешность отсчета

$$\Delta_{отсч}\leqslant\frac{c}{2}$$ $c$ - цена деления шкалы.

Определение погрешности взвешивания

$$\Delta m=\Delta_{весов}+\Delta_{гирь}+\Delta_{подбора}$$ $\Delta_{весов}$ - погрешность весов, зависящая от измеряемого веса
$\Delta_{весов}$ - погрешность всех гирь, зависящая от их номинала
$\Delta_{подбора}$ - погрешность подбора гирь

$\Delta_{подбора}$ определяется как половина массы:

наименьшей гири, лежащей на весах
гири, выводящей весы из равновесия

Погрешности косвенных измерений

Правила для косвенных погрешностей

Вид функции	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность	Уточненные формулы
$$f=x\pm y$$	$$\Delta f=\Delta x\pm \Delta y$$	$$\varepsilon_{f}=\frac{\Delta x+\Delta y}{x\pm y}$$	$$\Delta f=\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$$
$$f=xy$$	$$\Delta f=x\cdot\Delta y+y\cdot\Delta x$$	$$\varepsilon_{f}=\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}$$	$$\varepsilon_{f}=\sqrt{\varepsilon_{x}^2+\varepsilon_{y}^2}$$
$$f=\frac{x}{y}$$	$$\Delta f=\frac{x\cdot\Delta y + y\cdot\Delta x}{y^2}$$	$$\varepsilon_{f}=\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}$$
$$f=x^n$$	$$\Delta f=nx^{n-1}\Delta x$$	$$\varepsilon_{f}=n\varepsilon_{x}$$	$$—$$
$$f=\sqrt[n]{x}$$	$$\Delta f=\frac{\Delta x}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$$	$$\varepsilon_{f}=\frac{1}{n}\varepsilon_{x}$$	$$—$$
$$f=\sin(x)$$	$$\Delta f=\cos(x)\cdot\Delta x_0-$$	$$\varepsilon_{f}=\cot(x)\Delta x$$	$$—$$
$$f=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$$	$$\Delta f=\frac{\Delta x}{x^2}+\frac{\Delta y}{y^2}$$	$$\varepsilon_{f}=\frac{\frac{\Delta x}{x^2}+\frac{\Delta y}{y^2}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$$	$$\Delta f=\sqrt{\left(\frac{\Delta x}{x^2}\right)^2+\left(\frac{\Delta y}{y^2}\right)^2}$$

Погрешности измерений

Погрешности прямых измерений

Погрешности косвенных измерений

Случайные погрешности