Часть 1. Глава 3. Теория пределов

Предел

Переменное $x$ стремиться к пределу $a$, если абсолютная величина разности $x-a$ со временем сделается и будет потом все время оставаться меньше любого малого положительного числа $\varepsilon$, то есть если, начиная с некоторого момента, будет все время справедливым неравенство: $$|x-a|<\varepsilon$$

Бесконечно малое

Переменная величина называется бесконечно малой, если она имеет своим пределом нуль. Следовательно если $x$ есть бесконечно малое, то мы должны писать: $$\lim x=0\ или\ x \to 0$$

Всякая переменная величина, стремящаяся к пределу, разбивается на сумму двух слагаемых: первое слагаемое есть постоянное число, являющееся пределом рассматриваемой переменной величины, второе же слагаемое есть бесконечно малое. $$x=a+\alpha$$

Основные свойства бесконечно малых

Алгебраическая сумма $\alpha-\beta+\gamma+\ldots+\mu$ ограниченного числа бесконечно малых есть опять бесконечно малое.
Произведение $x\cdot\alpha$ ограниченной переменной величины $x$ на бесконечно малое $\alpha$ есть опять бесконечно малое.
Частное $\frac{\alpha}{x}$ от деления бесконечно малого $\alpha$ на переменную величину $x$, стремящуюся к пределу $a$, отличному от нуля, есть опять бесконечно малое.

Основные теоремы о пределах

Предел алгебраической суммы ограниченного числа переменных равен такой же алгебраической сумме пределов отдельных складываемых переменных:$$\lim(x-y+z+\ldots+t)=\lim x-\lim y+\lim z+\ldots+\lim t$$
Предел произведения ограниченного числа переменных равен произведению пределов отдельных перемножаемых переменных:$$\lim(x\cdot y\cdot z\ldots\cdot t)=(\lim x)\cdot(\lim y)\cdot(\lim z)\ldots\cdot(\lim t)$$
Предел частного двух переменных равен частному пределу отдельных переменных, если только предел знаменателя не равен нулю:$$\lim\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{\lim x}{\lim y}$$
Если две переменные величины остаются всегда равными между собой и если одна из них стремиться к пределу, тогда и другая будет стремиться к тому же самому пределу.
Если переменная величина остается заключенной все время между двумя переменными величинами, стремящимися к одному и тому же пределу, она необходимо стремится к тому же самому пределу.

Положительная бесконечность

Переменная величина $x$ называется положительной бесконечно большой, или, короче положительной бесконечностью, если ее изменение будет иметь следующий характер: $x$ со временем сделается и впредь будет всегда оставаться больше любого, выбранного по произволу положительного числа $N\ (N>0)$, каким бы большим $N$ ни было, т.е. если осуществится и останется в силе неравенство:$$x>N$$
В этом случе мы иногда станем говорить, что $x$ «неограниченно увеличивается», и будем это символически обозначать в виде условного равенства:$$\lim x=+\infty$$

Отрицательная бесконечность

Переменная величина $x$ называется отрицательной бесконечно большой, или, короче отрицательной бесконечностью, если ее изменение будет иметь следующий характер: $x$ со временем сделается и будет впредь оставаться менее произвольно выбранного отрицательного числа $-N\ (N>0)$, каким бы большим по своей абсолютной величине $N$ оно ни было нами выбрано, т.е. если осуществится и сохранится неравенство:$$x<-N$$
В этом случе мы иногда станем говорить, что $x$ «неограниченно убывает», и будем записывать это символически в виде условного равенства:$$\lim x=-\infty$$

Бесконечно большая переменная

Если переменная $x$ меняет свой знак от времени до времени, но его абсолютная величина $\left|x\right|$ неограниченно увеличивается, тогда мы просто называем переменную величину $x$ бесконечно большой или скажем, что «$x$ стремится к бесконечности» и напишем$$\lim x=\infty$$

Непрерывная на отрезке функция

Функция $y=f(x)$, определенная только на отрезке $\left[a,b\right]$, включая его концы, называется непрерывной на этом отрезке, если ее приращение $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ бесконечно умаляется независимо от $x$, когда $\Delta x$, то есть мы должны иметь $\lim \Delta y=0$ когда $\lim \Delta x=0$.

Разрывная на отрезке функция

Функция $y=f(x)$, которая не является непрерывной на отрезке $\left[a,b\right]$, называется разрывной на этом отрезке. Такая функция непременно должна иметь на этом отрезке хотя бы одну точку разрыва, то есть такую точку $x_0$, что приращение функции $f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)$ уже не стремится к нулю, когда приращение $h$ аргумента бесконечно умаляется.

Правило испытания на непрерывность

В функцию $f(x)$ вместо $x$ подставляем $x+\Delta x$, что дает нам новое значение $f\left(x+\Delta x\right)$ функции.
Вычитаем старое значение $f(x)$ функции из ее нового значения $f\left(x+\Delta x\right)$ и таким образом находим приращение функции $\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)$
Ищем предел найденного выражения $f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)$, рассматривая букву $x$ как постоянное и делая $\Delta x$ бесконечно умаляющимся. Если получим $\lim\Delta y=0$ для всякой точки $x$ отрезка $\left[a,b\right]$, то функция $f\left(x\right)$ непрерывна на этом отрезке.

Свойства непрерывных функций

Среди численных значений, принимаемых на отрезке непрерывной на нем функцией, всегда имеется как самое большое (максимум), так и самое малое (минимум) значение.
Непрерывная функция, изменяющая свой знак, проходит через нуль.
Непрерывная функция стремится к совершенно определенному пределу, когда ее аргумент сам стремится к пределу. К тому же этот предел $\lim f\left(x\right)$ нашей функции в точности равен ее значению $f\left(\lim x\right)$, вычисленному для предела аргумента, то есть $$\lim f\left(x\right)=f\left(\lim x\right).$$

Основная теорема о непрерывных функциях

Сумма, разность, произведение и частное двух непрерывных функций есть опять непрерывная функция, если только знаменатель частного не обращается в нуль.

Следствия из основной теоремы о непрерывных функциях

Всякий многочлен$$ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}+\ldots+gx+h,$$где коэффициенты $a,b,c,\ldots,g$ и $h$ - постоянные числа, есть функция, везде непрерывная, ибо всякий многочлен образован из аргумента $x$ при помощи действий сложения, вычитания и умножения, которые не приводят к разрывным функциям.
Всякая рациональная функция$$\frac{ax^{n}+bx^{n-1}+\ldots+gx+h}{Ax^{m}+Bx^{m-1}+\ldots+Kx+L}$$ есть функция, непрерывная всюду, кроме, быть может, таких точек $x_0$, в которых знаменатель уничтожается, то есть кроме, быть может, корней уравнения$$Ax^{m}+Bx^{m-1}+\ldots+Kx+L=0$$

Типы разрывов функций

$f\left(x\right)$ совсем не имеет никакого предела, когда $x$ приближается к $x_0$ с какой-нибудь стороны (справа или слева).
$f\left(x\right)$ имеет пределы справа и слева в точке $x_0$, но по крайнем мере один из этих двух пределов не равен $f\left(x_0\right)$.
Пределы $f\left(x\right)$ слева и справа обозначаются следующим образом:$$\lim_{\varepsilon \to 0} f\left(x_0+\varepsilon\right)=f\left(x_0+0\right)-\ предел\ справа.$$$$\lim_{\varepsilon \to 0} f\left(x_0-\varepsilon\right)=f\left(x_0-0\right)-\ предел\ слева.$$
Устранимый разрыв: оба предела функции $f\left(x\right)$ в точке $x_0$ равны друг другу, но не равны величине $f\left(x\right)$ функции в самой точке разрыва $x_0$:$$f\left(x_0+0\right)=f\left(x_0-0\right)\neq f\left(x_0\right)$$

Таблица простейших пределов

В форме пределов	В сокращенной форме
$$\lim_{x \to 0} \frac{c}{x}=\infty$$	$$\frac{c}{0}=\infty$$
$$\lim_{x \to \infty}cx=\infty$$	$$c\cdot\infty=\infty$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{c}=\infty$$	$$\frac{\infty}{c}=\infty$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x}=0$$	$$\frac{c}{\infty}=0$$
$$\lim_{x\to-\infty}a^x=+\infty,\ если\ a<1$$	$$a^{-\infty}=+\infty$$
$$\lim_{x\to+\infty}a^x=0,\ если\ a<1$$	$$a^{+\infty}=0$$
$$\lim_{x\to-\infty}a^x=0,\ если\ a>1$$	$$a^{-\infty}=0$$
$$\lim_{x\to+\infty}a^x=+\infty,\ если\ a>1$$	$$a^{+\infty}=+\infty$$
$$\lim_{x\to 0}\log_{a}x=-\infty\ для\ a>1$$	$$\log_{a}0=-\infty$$
$$\lim_{x\to+\infty}\log_{a}x=+\infty\ для\ a>1$$	$$\log_{a}\left(+\infty\right)=+\infty$$

Теорема

Функция $\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ аргумента $x$ непрерывна в точке $x=0$, стремясь к числу Непера $e$ как к пределу, когда аргумент $x$ стремится к нулю.

Бесконечно малое высшего порядка

Бесконечно малое $\beta$ называется бесконечно малым высшего порядка (высшей малости), чем $\alpha$, если:$$\lim\frac{\beta}{\alpha}=0$$

Бесконечно малое низшего порядка

Бесконечно малое $\beta$ называется бесконечно малым низшего порядка (низшей малости), чем $\alpha$, если:$$\lim\frac{\beta}{\alpha}=\infty$$

Бесконечно малые одинакового порядка

Бесконечно малые $\alpha$ и $\beta$ называются бесконечно малыми одинакового порядка(одинаковой малости), если:$$\lim\frac{\beta}{\alpha}=C,\ C\neq0,\ C\neq\infty$$

Несравнимые бесконечно малые

Бесконечно малые $\alpha$ и $\beta$ называются несравнимыми между собою, если их отношение $\frac{\beta}{\alpha}$ не стремится ни к какому пределу, ни к конечному, ни к бесконечности.

Бесконечно малое $n$-го порядка

Бесконечно малое $\alpha^n$ называется бесконечно малым $n$-го порядка, каков бы ни был положительный показатель $n$.

Если мы принимаем за основное бесконечно малое $\alpha$ и если мы хотим найти порядок бесконечно малого $\beta$, мы должны постараться найти такое положительное число $n$, чтобы $\beta$ оказалось такого же порядка, как и бесконечно малое $\alpha^n$, то есть чтобы предел $$\lim\frac{\beta}{\alpha^n}=C$$ оказался конечным числом, отличным от нуля (то есть чтобы $C\neq0$ и $C\neq\infty$). В этих же условиях мы скажем, что бесконечно малое $\beta$ есть $n$-го порядка.

Равносильные бесконечно малые

Два бесконечно малых $\alpha$ и $\beta$ называются равносильными друг другу, если:$$\lim\frac{\beta}{\alpha}=1$$Равносильность бесконечно малых $\alpha$ и $\beta$ обозначается как $\alpha\sim\beta$

Свойства равносильных бесконечно малых

$\alpha\sim\alpha$
Если $\alpha\sim\beta$ то $\beta\sim\alpha$
Если $\alpha\sim\gamma$ и $\beta\sim\gamma$, то $\alpha\sim\beta$
Бесконечно малое $\gamma$, содержащееся между двумя равносильными бесконечно малыми $\alpha$ и $\beta$, $\alpha\sim\beta$, само равносильно им.

Теорема

Бесконечно малые $\alpha$ и $\beta$ тогда и только тогда равносильны одно другому, когда их разность $\beta-\alpha$ есть бесконечно малое более высокого порядка, чем они сами.

Лемма

Сумма $\beta+\gamma+\delta+\ldots+\lambda$ ограниченного числа бесконечно малых $\beta,\ \gamma,\ \delta,\ \ldots\ \lambda$ высшего порядка, чем $\alpha$, есть бесконечно малое опять более высокого порядка, чем $\alpha$.

Практическое правило

Если имеется сумма $\alpha+\beta+\gamma+\delta+\ldots+\lambda$ ограниченного числа бесконечно малых и если среди членов этой суммы имеется лишь один член наиболее низкого порядка, то можно зачеркнуть все остальные члены, так как вся сумма равносильна этому одному члену.

Виды анализа бесконечно малых

Дифференциальное исчисление — рассматривает конечные количества, между которыми надо открыть соотношения, как пределы отношений бесконечно малых.

Интегральное исчисление — рассматривает конечные количества, между которыми надо открыть соотношения, как пределы сумм безграничго возрастающего числа бесконечно малых.

Первый принцип бесконечно малых
(принцип дифференциального исчисления)

При отыскании предела отношения двух бесконечно малых каждое из них можно заменить равносильным бесконечно малым, не изменив нисколько этого предела.